Скорость точки плоской фигуры. Определение скоростей точек плоской фигуры. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Движение плоской фигуры слагается из поступательного движения, когда все точки фигуры движутся со скоростью полюсаА , и из вращательного движения вокруг этого полюса (рис. 3.4). Скорость любой точкиМ фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

Рисунок 3.4

Действительно, положение точки М по отношению к осямОх y определяется радиусом – вектором
, где- радиус-вектор полюсаА ,=
- радиус-вектор, определяющий положение точкиМ относительно
, перемещающихся вместе с полюсомА поступательно. Тогда

есть скорость полюсаА ,равна скорости
, которую точкаМ получает при
, т.е. относительно осей
, или, иначе, при вращении фигуры вокруг полюсаА . Таким образом следует, что

где ω – угловая скорость фигуры.

Рисунок 3.5

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скоростинаходятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 3.5).

10.3. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Одним из простых способов определения скоростей точек плоской фигуры (или тела движущегося плоскопараллельно) является теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Рисунок 3.6

Рассмотрим какие-нибудь две точки А иВ плоской фигуры (или тела) (рис.3.6). Принимая точкуА за полюс получаем, что
. Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную поАВ , и учитывая, что вектор
перпендикуляренАВ , находим

и теорема доказана. Заметим, что этот результат ясен и из чисто физических соображений: если равенство
не будет выполняться, то при движении расстояние между точкамиА иВ должно изменяться, что невозможно – тело абсолютно твердое. Поэтому это равенство выполняется не только при плоскопараллельном, но и при любом движении твердого тела.

10.4. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времениt точкиА иВ плоскости фигуры имеют скоростии, непараллельные друг другу (рис. 3.7.). Тогда точкаР , лежащая на пересечении перпендикуляровАа к векторуиВ b к вектору, и будет мгновенным центром скоростей, так как
.

Рисунок 3.7

В самом деле, если
, то по теореме о проекциях скоростей вектордолжен быть одновременно перпендикулярен иАР (так как
), иВР (так как
), что невозможно. Из этой же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

Если теперь в момент времени t взять точкуР за полюс. То скорость точкиА будет

так как =0. Такой же результат получается для любой другой точки фигуры. Тогда,скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

(
);
(
)

и так для любой точки фигуры.

Из этого следует еще, что
и
, тогда

т.е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстоянию от мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей, например, и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры.

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой её точки В.

3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждой момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к её расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:

Найдем, еще другое выражение для ω из равенств
и

следует, что
и
, откуда

Рассмотрим некоторые частные случаи определения МЦС, которые помогут решать теоретической механики.

1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис. 3.8), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (
), и следовательно, является мгновенным центром скоростей.

Рисунок 3.8

2. Если скорости точек А иВ плоской фигуры параллельны друг другу, причем линияАВ не перпендикулярна(рис.3.9,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек //. При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что
, т.е.
, в этом случае фигура имеет мгновенное поступательное движение.

3. Если скорости точек А иВ плоской фигуры // друг другу и при этом линияАВ перпендикулярна, то мгновенный центр скоростейР определяется построением (рис. 3.9,б).

Рисунок 3.9

Справедливость построений следует из
. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центраР надо кроме направлений знать еще и модули скоростейи.

4. Если известны вектор скорости какой-нибудь точкиВ фигуры и её угловая скоростьω , то положение мгновенного центра скоростейР , лежащего на перпендикуляре к(см. рис. ?), можно найти из равенства
, которое дает
.

Если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоскости фигуры имеют скорости и , непараллельные друг другу (рис. 2.21.). Тогда точка Р , лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и Вb к вектору , и будет мгновенным центром скоростей, так как .

Рисунок 2.21

В самом деле, если , то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как ), и ВР (так как ), что невозможно. Из этой же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

Если теперь в момент времени t взять точку Р за полюс. То скорость точки А будет

и так для любой точки фигуры.

Из этого следует еще, что и , тогда

= ,

(2.54)

т.е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстоянию от мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

Рассмотрим некоторые частные случаи определения МЦС, которые помогут решать теоретической механики.

1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис. 2.22), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (), и следовательно, является мгновенным центром скоростей.

Рисунок 2.22

2. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис.2.23,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек // . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что , т.е. , в этом случае фигура имеет мгновенное поступательное движение. , которое дает .

Напомним, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса.

В соответствии с этим скорость произвольной точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса, т. е.

При этом скорость V MA определяется как скорость точки М при вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости движения (см. § 7.2), т. е.

Таким образом, если известны скорость полюса V А и угловая скорость тела со, то

скорость любой точки М тела определяется в соответствии с равенством (8.2), диагональю параллелсгграмма, построенного на векторах V A и V MA , как на сторонах (рис. 8.3), а модуль скорости V M вычисляется по формуле

где у - угол между векторами V A и V MA

Задача 8.1. Колесо катится по неподвижной поверхности без скольжения (рис. 8.4, а). Найти скорость точек К и D колеса, если известны скорость V c центра С колеса, радиус R колеса, расстояние КС = b и угол а.

Решение. 1. Рассматриваемое движение колеса является плоскопараллельным. Приняв точку С за полюс (так как ее скорость известна), в соответствии с общим равенством (8.2), для точки К можем записать

Однако нет возможности определить значение V KC , так как неизвестна угловая скорость со.

Для определения со рассмотрим скорость другой точки, а именно точки Р касания колеса о неподвижную поверхность (рис. 8.4, б). Для этой точки можно написать равенство

Особенностью точки Р является то обстоятельство, что в данный момент времени V p - 0, так как колесо катится без скольжения. Тогда равенство (б) принимает вид

откуда получим

Отсюда следует: 1) векторы скоростей V PC и V c должны быть направлены в противоположные стороны; 2) из равенства модулей V PC - V c получаем ыРС= V c , отсюда найдем со = V c /PC= V c /R. В соответствии с направлением вектора V PC определяем направление дуговой стрелки со и показываем ее на чертеже (рис. 8.4, б).

Теперь возвращаемся к определению V K по равенству (а). Находим

Vкс = о КС - V^b/R. Зная направление угловой скорости со, изображаем вектор V KC перпендикулярно отрезку КС и выполняем построение параллелограмма на векторах V c и V KC (рис. 8.4, в). Так как в данном случае V c и V KC взаимно перпендикулярны, окончательно находим

2. Скорость точки D на ободе колеса определим из равенства V D = V C + V DC . Так как численно V DC - соR - V c , то параллелограмм, построенный на векторах V c и V DC , будет ромбом. Угол между V c и V DC равен 2а. Определив V D как длину соответствующей диагонали ромба, получим

Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела

Согласно равенству (8.2) для двух_ произвольных точек А и В твердого тела справедливо равенство V B =V A +V BA , в соответствии с которым выполним построение, показанное на рис. 8.5. Проецируя это равенство на ось Az, направленную по А В, получим Ум + V BAz . Учитывая, что вектор V BA перпендикулярен прямой

А В, находим

Этот результат и выражает теорему: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Отметим, что равенство (8.5) математически отражает то обстоятельство, что тело рассматривается как абсолютно твердое и расстояние между точками А и В не изменяется. Поэтому равенство (8.5) выполняется не только при плоскопараллельном, но и при любом движении твердого тела.

Задача 8.2. Ползуны А и В, соединенные стержнем с шарнирами на концах, перемешаются по взаимно перпендикулярным направляющим в плоскости чертежа (рис. 8.6, а). Определить при данном угле а скорость точки В, если известна скорость V A .

Решение. Проведем ось х через точки А и В. Зная направление V A ,

находим проекцию этого вектора на прямую АВ: V Ax - V A cos а (на рис. 8.6, б это будет отрезок Аа). Далее на чертеже от точки В откладываем ВЬ - Аа (так как отрезок Аа расположен на оси х вправо от точки А, то и отрезок ВЬ откладываем от точки В по оси х вправо). Восставляя в точке Ь перпендикуляр к прямой АВ, находим точку конца вектора V B .

Согласно теореме о проекциях V A cos а = K^cosp. Отсюда (учтя, что Р = 90° - а) окончательно получим V B = V A cos a/cos(90° - a) или V B = = V A ctg a.

Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей

Для определения скоростей точек плоской фигуры выберем в качестве полюса какую-либо точку Р. Тогда, согласно формуле

(8.2), скорость произвольной точки М определяется как сумма двух векторов:

Если бы скорость полюса Р в данный момент времени была равна нулю, то правая часть этого равенства была бы представлена одним слагаемым У МР и скорость любой точки определялась бы как скорость точки М тела при вращении его вокруг неподвижного полюса Р.

Следовательно, если выбрать в качестве полюса точку Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю, то модули скоростей всех точек фигуры будут пропорциональны их расстояниям до полюса Р, а направления векторов скоростей всех точек будут перпендикулярны прямым, соединяющим рассматриваемую точку и полюс Р. Естественно, что расчет по формулам (8.6) значительно проще расчета по общей формуле (8.2).

Точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени существует и при том единственная. Отметим, что мгновенный центр скоростей может быть расположен как на самой фигуре, так и на ее мысленном продолжении.

Рассмотрим способы определения положения мгновенного центра скоростей.

1. Пусть в момент времени t jum плоской фигуры известны ее угловая скорость со и скорость V A какой-нибудь ее точки А (рис. 8.7, а). Тогда, выбирая точку А в качестве полюса,_скорость_иско- мой нами точки Р можно определить по формуле V p = V A + Vp A -

Задача состоит в том^чтобы найти такую точку Р, у которой V P =0, значит, для нее V A +У РЛ =0 и отсюда У РА = -У А. Следовательно, для точки Р скорость У РА, которую точка Р получает при вращении фигуры вокруг полюса А, и скорость У А полюса А равны по модулю (У РА = У А) или озАР= У А и противоположны по направлению. Кроме того, точка Р должна лежать на перпендикуляре к вектору У А. Определение положения точки Р осуществляется таким построением: из точки А (рис. 8.7, б) восставим перпендикуляр к вектору У А и отложим на нем расстояние АР = У А /со в ту сторону от точки А, куда «покажет» вектор У А, если его повернуть на 90° в направлении дуговой стрелки со.

Мгновенный центр скоростей является единственной точкой плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

В другой момент времени мгновенным центром скоростей может быть уже другая точка плоской фигуры.

2. Пусть известны направления скоростей V A и У в (рис. 8.8, а) двух точек А и В плоской фигуры (причем векторы скоростей этих точек непараллельны), или известны элементарные перемещения этих точек. Мгновенный центр скоростей будет находиться в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к элементарным перемещениям точек). Такое построение выполнено на рис. 8.8, б. Оно основано на том, что для любых точек А и В фигуры применимы положения (8.6):

Из этих равенств следует, что

Зная положение МЦС и угловую скорость тела, применив формулы (8.6), легко определить скорость любой точки этого тела. На- пример^для точки К (см. рис. 8.8, б) модуль скорость V K =coКР, вектор У к направлен перпендикулярно прямой КР в соответствии с

направлением дуговой стрелки ю.

Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как будто эта фигура вращается вокруг мгновенного центра скоростей.

3. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, то возможны три варианта, которые изображены на рис. 8.9. Для случаев, когда прямая АВ перпендикулярна векторам V А и V B (рис. 8.9, а, б), построения основываются на пропорции (8.7).

Если скорости точек Ли В параллельны, а прямая AB_nt перпендикулярна V А (рис. 8.9, в), то перпендикуляры к У А и V B параллельны и мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР= оо); угловая скорость вращения фигуры со = VJAP = V A /cc = 0. В этом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу, т. е. фигура имеет распределение скоростей как при поступательном движении. Такое состояние движения тела называют мгновенно поступательным. Отметим, что в этом состоянии ускорения всех точек тела не будут одинаковыми.

4. Если плоское движение тела осуществляется путем его качения без скольжения по неподвижной поверхности (рис. 8.10), то точка касания Р будет являться мгновенным центром скоростей (см. задачу 8.1).

Задача 8.3. Плоский механизм состоит из стержней 7, 2, 3, 4 и ползуна В (рис. 8.11), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами 0 { и 0 2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней: / 2 =0,4 м, / 2 = 1,2 м, / 3 = 0,7 м, / 4 = 0,3 м. Угловая скорость стержня 7 в заданном положении механизма со, = 2 с -1 и направлена против хода часовой стрелки. Определить V A , V B , V D , V E , oo 2 , co 3 , to 4 и скорость точки К в середине стержня DE (DK = КЕ).

Решение. В рассматриваемом механизме стержни 7, 4 совершают вращательное движение, ползун В - поступательное, а стержни 2, 3 -

плоскопараллельное движение.

Скорость точки А определим как принадлежащую стержню 7, совершающему вращательное движение:

Рассмотрим движение стержня 2. Скорость точки А определена, а направление скорости точки В обусловлено тем, что она принадлежит одновременно стержню 2 и пол-

зуну, движущемуся вдоль направляющих. Теперь, восставляя из точек А и В перпендикуляры к У А и направлению движения ползуна В, находим положение точки С 2 - МЦС стержня 2.

По направлению вектора У А, учитывая, что в рассматриваемом положении механизма стержень 2 вращается вокруг точки С 2 , определяем направление угловой скорости со 2 стержня 2 и находим ее числовое значение (о 2 = V a /AC 2 = 0,8/1,04 = 0,77 с -1 , где АС 2 - АВ sin 60° = 1,04 м (получим при рассмотрении ААС~,В).

Теперь определяем числовые значения и направления скоростей точек В и D стержня 2 (так как ABDC 2 равносторонний, то ВС 2 - DC 2 - - 0,6 м):

Рассмотрим движение стержня 3. Скорость точки D известна. Так как точка Е принадлежит одновременно и стержню 4, вращающемуся вокруг оси 0 4 , то У е 10 4 Е. Тогда, проводя через точки D и Е прямые, перпендикулярные скоростям V D wV E , находим положение точки С 3 - МЦС стержня

3. По направлению вектора V D , глядя из неподвижной точки С 3 , определяем направление угловой скорости со 3 , а ее числовое значение находим (предварительно определив из AZ)C 3 ? отрезок Z)C 3 = DEsin 30° = 0,35 м): со 3 = V d /C 3 D= 1,32 с -1 .

Для определения скорости точки К проведем прямую КС 3 и, учитывая, что АР КС 3 равносторонний (КС 3 = 0,35 м), вычислим У к = = 0,462 м/с, У к АКС 3 .

Рассмотрим движение стержня_4, вращающегося вокруг оси 0 4 . Зная направление и числовое значение V E , находим направление и значение угловой скорости со 4: со 4 = V e /0 4 E - 2,67 с.

Ответ: V A = 0,8 м/с, V B = V D = 0,462 м/с, V E = 0,8 м/с, со 2 = 0,77 с" 1 , со 3 = 1,32 с -1 , (о 4 = 2,67 с -1 , направления этих величин показаны на рис. 8.11.

Примечание. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательно движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.

Задача 8.4. Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3 и катка, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости (рис. 8.12, а). Соединения стержней между собой и стержня 3 к катку в точке D - шарнирные. Длины стержней: 1 { - 0,4 м, / 2 = 0,6 м, / 3 = 0,8 м. При данных углах а = 60°, В = 30° известны значения и направления угловой скорости со, = = 2 с и скорости центра О катка V 0 = 0,346 м/с, ZABD = 90°. Определить скорость точки В и угловую скорость со 2 .

Решение. Механизм имеет две степени свободы (его положение определяется двумя углами а и р, не зависящими друг от друга) и скорость точки В (общей точки стержней 2 и 3) зависит от скоростей точек А и D.

Рассматривая движение стержня /, находим направление и значение скорости точки A: V A = coj/j = 0,8 м/с, V a AjO { A.

Рассмотрим движение катка. Его мгновенный центр скоростей расположен в точке Р; тогда V D найдем из пропорции

Так как ADOP равнобедренный и острые углы в нем равны 30°, то DP- 2 OP cos 30° = ОРл/ 3. Из равенства (а) находим V D - 0,6 м/с. Вектор V D направлен перпендикулярно DP.

Так как точка В принадлежит одновременно стержням АВ и BD, то по теореме о проекциях скоростей должно быть: 1) проекция вектора У в на прямую А В У А (отрезок Аа на рис. 8.12, а), т. е. У А cos а = 0,4 м/с; 2) проекция вектора У в на прямую DB равна проекции на эту прямую вектора У 0 (отрезок Dd на рис. 8.12, а), т. е. У 0 cos у = 0,3 м/с (у = 60°).

Далее решаем графически. Откладываем от точки В в соответствующих направлениях отрезки ВЬ { = Аа и Bb 2 = Dd. Скорость точки В равна сумме векторов V B = Bb+ Bbj. Восставляем из точки Ь { перпендикуляр к ВЬ Х, а из

точки b 2 - перпендикуляр к ВЬ 2 . Точка пересечения этих перпендикуляров определяет конец искомого вектора V B .

Так как направления отрезков ВЬ и ВЬ 2 взаимно перпендикулярны, то

Определяем со 2 . На рис. 8.12, б показан так называемый план скоростей, который графически изображает векторное равенство

где векторы V A и V B определены (см. рис. 8.12, а), а направление V BA перпендикулярно стержню АВ. Из чертежа (рис. 8.12, б) находим

Теперь определяем со 2 = V ba /AB- 1,66 с -1 (направление со 2 - против хода часовой стрелки).

Ответ: V B - 0,5 м/с, со 2 = 1,66 с -1 .

Лекция 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Плоскопараллельное движение твердого тела.

2. Уравнения плоскопараллельного движения.

3. Разложение движения на поступательное и вращательное.

4. Определение скоростей точек плоской фигуры.

5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

7. Решение задач на определение скорости.

8. План скоростей.

9. Определение ускорений точек плоской фигуры.

10. Решение задач на ускорения.

11. Мгновенный центр ускорений.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения.

Разложение движения на поступательное и вращательное

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рис.28 Рис.29

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy , параллельной плоскости П (рис.29). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ ’, перпендикулярной течению S , т. е. плоскости П , движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S . Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху .

Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты x A и y A точки А и угол , который отрезок АВ образует с осью х . Точку А , выбранную для определения положения фигуры S , будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины x A и y A и будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости

Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при =const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А . Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при и , т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А . Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А , и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса , а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.

Определение скоростей точек плоской фигуры

Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.30), где - радиус-вектор полюса А , - вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда